http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 1
الجداء السلمي و تطبيقاته في الفضاء
الجداء السلمي -I
-1 تعريف
. E نقطة من الفضاء A و V متجهتين من الفضاء 3 u و v لتكن
u = AB من الفضاء حيث C و B توجد نقطتان
v = AC و
هو العدد u و v الجداء السلمي للمتجهتين
المعرف آما يلي u ⋅v الحقيقي
* إذا آان 0 0
≠ u ⋅v = AB ⋅ AC = AB × AC ' فان u ≠ و v
(AB) على C المسقط العمودي ل C' حيث
u = * إذا آان 0
v = أو 0
u ⋅v = فان 0
-2 صيغة أخرى للجداء السلمي
u = AB ثلاث نقط من الفضاء حيث C و B و A و V متجهتين غير منعدمتين من الفضاء 3 u و v لتكن
v = AC و
BAC قياس الزاوية θ و
(AB) على C المسقط العمودي ل C' و
u ⋅v = AB ⋅ AC = AB × AC ' لدينا
* إذا آان
0 π2 AC' = AC cosθ فان ≤ θ ≺
u ⋅v = AB × AC cosθ = AB × AC cosθ ومنه
π ≺ θ ≤ π * إذا آان 2
فان
AC' = AC cos(π −θ ) =− AC cosθ
u ⋅v = −AB × AC cosθ = AB × AC cosθ ومنه
* إذا آان
2 π
u ⋅v = و منه 0 AC ' = فان 0 θ =
u ⋅v = AB × AC cosθ إذن
خاصية
u = AB ثلاث نقط من الفضاء حيث C و B و A و V متجهتين غير منعدمتين من الفضاء 3 u و v إذا آانت
و
v = AC
BAC قياس الزاوية θ و
u ⋅v = AB × AC cosθ فان
خاصية
AB لتكن
CD و
متجهتين غير منعدمتين
AB ⋅CD = AB ×C 'D '
بالتوالي. (AB ) على D ; C المسقطان العموديان ل D ' ; C ' حيث
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 2
-3 خاصيات
أ- تعامد متجهتين :
تعريف
.V متجهتين من الفضاء 3 u و v لتكن
u ⊥ v نكتب u ⋅v = متعامدين إذا وفقط إذا آان 0 u و v تكون
0 المتجهة ملاحظة
V عمودية على أية متجهة من الفضاء 3
ب- منظم متجهة
u = AB نقطتين من الفضاء حيث B و A متجهة غير منعدمة و u لتكن
u ⋅u = AB ومنه 2
u ⋅u 0 u إذن لكل متجهة غير منعدمة
u و يكتب 2 u يسمى المربع السلمي ل u ⋅u العدد الحقيقي
u ويكتب u يسمى منظم المتجهة u العدد 2
u 2 = u ملاحظة * 2
BAC قياس الزاوية θ متجهتين غير منعدمتين وآان u و v * اذا آانت
u = AB حيث
v = AC و
u ⋅v = u × v cosθ فان
ج- خاصيات
( ) 3
3 ∀ u,v,w ∈V ∀α ∈
u ⋅v =v ⋅u *
(v +w ) ⋅u =v ⋅u +w ⋅u * u ⋅ (v +w ) = u ⋅v +u ⋅w *
u ⋅αv =αu ⋅v =α × (u ⋅v) *
(u +v)2 = u2 +v2 + 2u ⋅v متطابقات هامة
(u −v)2 = u2 +v2 − 2u ⋅v
(u +v)(u −v) = u2 −v2
صيغ تحليلية -II
-1 الأساس و المعلم المتعامدان الممنظمان
تعريف
k و j و i لتكن
نقطة من الفضاء. O و V ثلاث متجهات غير مستوائية من الفضاء 3
(i ; j;k)
V أسا س للفضاء 3
(i ; j;k) يكون الأساس
(O;i ; j ;k ) متعامد (أو المعلم
متعامد) إذا وفقط إذا آانت المتجهات
k و j و i
متعامدة مثنى مثنى.
(i ; j;k) يكون الأساس
(O;i ; j ;k ) متعامد و ممنظم (أو المعلم
تعامد وممنظم) إذا وفقط إذا آانت المتجهات
k و j و i
i = j = k = متعامدة مثنى مثنى و 1
-2 الصيغة التحليلية للجداء السلمي
أ- خاصية
(O;i ; j ;k ) الفضاء منسوب إلى معلم.م.م
v(x';y';z') و u(x;y;z) إذا آانت
u ⋅v = xx '+ yy '+ zz ' فان
ملاحظة
(O;i ; j ;k ) بالنسبة للمعلم.م.م u(x;y;z) إذا آانت
u ⋅ i = x ; u ⋅ j = y ; u ⋅ k = z فان
ب - الصيغة التحليلية لمنظم متجهة و لمسافة بين نقطتين
(o;i ; j;k) بالنسبة للمعلم.م.م u(x;y;z) *- إذا آانت
u = x 2 + y 2 + z فان 2
(o;i ; j;k) بالنسبة للمعلم.م.م B (x B ; y B ; z B ) و A (x A ; y A ; z A ) *- اذا آانت
( )2 ( )2 ( ) فان 2
B A B A B A AB = x − x + y − y + z − z
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 3
تمرين
حدد متجهة -1 w
v(1;− و ( 2;0 u(− واحدية وعمودية على( 1;1;1
حدد متجهة - 2 w
w = و 3 v( و ( 0;2;1 u( عمودية على( 1;1;0
تمرين
C (−1;−1;− و ( 2 B ( 2;− و ( 2;0 A ( نعتبر ( 1;1; 2
مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية ABC بين أن
V تطبيقات الجداء السلمي في 3 -III
-1 تعامد المستقيمات و المستويات في الفضاء
أ- تعامد مستقيمين
على التوالي u و 2 u مستقيمين من الفضاء موجهين بالمتجهتين 1 (D و ( 2 (D ليكن ( 1
( ) ( ) 1 2 1 2 D ⊥ D ⇔u ⋅u = 0
ب- تعامد مستقيم و مستوى
خاصية
u مستقيم موجه بالمتجهة 3 (D) و u و 2 u مستوى موجه بالمتجهتين 1 (P) ليكن
2 3 (D ) ⊥ (P )⇔u1 ⊥ u و 3 u ⊥u
ج- ملاحظات واصطلاحات
.( P) تسمى متجهة منظمية للمستوى (P) العمودي على مستوى (D) الموجهة لمستقيم u * المتجهة
(P) تكون منظمية للمستوى u مستقيمية مع v فان آل متجهة (P) منظمية لمستوى u * اذا آانت
( P') و (P) مستقيميتين فان v و u وآانتا (P') منظمية لمستوى v و (P) منظمية لمستوى u * اذا آانت
متوازيان
u ⊥ AB فان (P) منظمية لمستوى u و (A;B )∈(P ) * إذا آان 2
(O;i ; j ;k ) . تمرين في الفضاء المنسوب إلى معلم .م
الموجه بالمتجهتين (P) و العمودي على المستوى A(-1; 2 المار من( 0 (D) حدد تمثيل بارامتري للمستقيم
v( و( 2;1;1 u(1;−1;1)
تمرين
(O;i ; j ;k ) . في الفضاء المنسوب إلى معلم .م
ax-2y+z-2= الذي معادلته 0 (P) نعتبر المستوى
t IR تمثيله بارامتري (D) و المستقيم
z bt
y t
x t
∈
= − +
= +
=
2
1 3
2
(P) -1 حدد متجهتين موجهتين للمستوى
(D)⊥(P) لكي يكون b و a -2 حدد
د- تعامد مستويين
تذآير يكون مستويان متعامدين اذا و فقط اذا اشتمل أحدهما على مستقيم عمودي
على المستوى الآخر.
خاصية
متجهتين منظميتين لهما على التوالي v و u مستويين من الفضاء و (P') و (P) ليكن
u⊥v اذا وفقط اذا آان (P')⊥(P)
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 4
-3 معادلة مستوى محدد بنقطة و متجهة منظمية عليه
مستوى محدد بنقطة و متجهة منظمية عليه .a
مبرهنة
نقطة من الفضاء A متجهة غير منعدمة و u لتكن
AM ⋅u = من الفضاء حيث 0 M منظمية له هو مجموعة النقط u و المتجهة A * المستوى المار من
AM ⋅u = من الفضاء حيث 0 M * مجموعة النقط
منظمية له u و المتجهة A المستوى المار من
معادلة مستوى محدد بنقطة و متجهة منظمية عليه .b
خاصية
منظمية عليه يقبل معادلة ديكارتية من u(a;b;c) في الفضاء و (P) * آل مستوى
ax + by + cz + d = نوع 0
هي معادلة مستوى (a;b;c ) ≠ ( حيث ( 0;0;0 ax + by +cz + d = * آل معادلة ديكارتية من نوع 0
منظمية عليه u(a;b;c) في الفضاء بحيث (P)
منظمية عليه هي: u(a;b;c) و المتجهة A(x0 ; y0 ; z المار من ( 0 (P) *في الفضاء معادلة المستوى
( ) ( ) ( ) 0 0 0 a x − x + b y − y + c z − z = 0
4) مبرهنة
عددا حقيقيا k نقطة من الفضاء و A متجهة غير منعدمة و u لتكن
AM ⋅ u = k من الفضاء حيث M مجموعة النقط
المستوى هي ( ) P العمودي على ( ) ; D Au
H في النقطة
u AB ; AH k حيث
AB
= =
تمرين
(P) : 2x-y+3z+1= نعتبر 0
x+y-2z+1=0
(D):
x-y+z-2=0
ونقطة منه. (P) منظمية على u -1 حدد متجهة
منظمية عليه. n( و( 1,2,1 A ( -2 حدد معادلة ديكارتية للمستوى المار من( 2;0;3
(D) والعمودي على A' ( -3 حدد معادلة ديكارتية للمستوى المار من( 2;0;3
(P) و الموازي ل A ( -4 حدد معادلة ديكارتية للمستوى المار من( 2;0;3
دراسة الاوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات في الفضاء
أ- الأوضاع النسبية لمستويين في الفضاء
منظمية عليه v و A' المستوى المار من (P') منظمية عليه u و A المستوى المار من (P)
مستقيميتان v و u الحالة 1
(P') = (P) فان A' ∈ (P) أو A∈ (P') إذا آان
متوازيان قطعا. (P') و (P) فان A' ∉ (P) و A∉ (P') إذا آان
غير مستقيميتين v و u الحالة 2
(P')⊥(P) ⇔ u ⊥ v -
متقاطعان. (P') و (P) غير متعامدتين فان u و v - اذا آان
ب- الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى في الفضاء
موجهة له v و A' المستقيم المار من (D) منظمية عليه u و A المستوى المار من (P)
(D)⊥(P) مستقيميتين فان v و u الحالة 1 إذا آان
غير مستقيميتين v و u الحالة 2
متوازيان (D) و (P) ⇔ u ⊥ v -
(P) يخترق (D) فان u ⊥ v - اذا آان
مسافة نقطة عن مستوى IV
-1 تعريف و خاصية
http://arabmaths.site.voila.fr Moustaouli Mohamed 5
(o;i ; j;k) الفضاء منسوب إلى معلم.م.م
نكتب (P) على A المسقط العمودي ل H حيث AH هي المسافة (P) عن مستوى A مسافة نقطة
( ; ( ))
A B u
d A P AH
u
•
= =
(P) منظمية على u و B ∈ (P) حيث
-2 خاصية
نقطة من الفضاء A (x 0 ; y 0 ;z و ( 0 ax +by +cz + d = مستوى معادلته 0 (P) ليكن
( ( )) 0 0 0
2 2 2
;
ax by cz d
d A P
a b c
+ + +
=
+ +
مثال
A ( منظمية عليه لتكن ( 1;2;0 u (1;− و ( 1; 2 B ( مستوى مار من ( 2;1;3 (P) ليكن
d (A;(P )) حدد
تمرين 1
في فضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم .
المستقيم الممثل (D) 2 و x-3y+2z= المستوى ذا المعادلة 0 (P) و B(3;1;- و ( 1 A(1;- نعتبر ( 1;1
بارا متريا ب
3
2 3
2 4
x t
x t t
z t
=
= − − ∈
= +
(D) والعمودي على المستقيم A المار من (Q) -1 حدد معادلة ديكارتية للمستوى
(P) والعمودي على المستوى B و A المار من (Q´) حدد معادلة ديكارتية للمستوى
d(A;(D)) و d(A;(P)) -2 أحسب
(P) و الموازي للمستوى B المار من (Q´´) -3 حدد معادلة ديكارتية للمستوى
تمرين 2
في فضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم.
المستقيم المعرف ب (D) 3 و x+2y-z-5= ذا المعادلة 0 (P) نعتبر المستوى
2 3 0
2 0
x y z
x y z
− + − =
− − + =
(D) -1 حدد تمثيلا بارا متريا للمستقيم
(P) و العمودي على (D) الذي يتضمن (P´) حدد معادلة ديكارتية للمستوى
موضوع: معادلة مستوى محدد بنقطة و متجهة منظمية عليه 
الأربعاء 6 أكتوبر 2010 - 21:06